Preguntas de la charla del miércoles pasado

Abril 25, 2008

Algunos ejercicios de los temas de la clase pasada:

  1. Recuerde que el lema de homogeneidad fuerte dice que \forall \bar{a},\bar{b}\in {\mathfrak C}^\alpha (\alpha acotado), si tp(\bar{a}/QA)=tp(\bar{b}/QA) entonces existe f\in Aut({\mathfrak C}/QA) tal que f(\bar{a})=\bar{b}. Muestre (con un ejemplo) que en lo anterior \alpha debe ser acotado.
  2. Sea p=tp(\bar{c}c'/QA) (en el contexto de la demostración de lo anterior). Sea B\subset_{fin} QA tal que p no rompe sobre B. Sea \sigma \in Aut({\mathfrak C}/B) tal que \sigma(\bar{c})=\bar{d}. Queremos ver que tp(\bar{c}c'/QA)=tp(\bar{d}d'/QA) – si no fuera así existirían \varphi(\bar{x},x',y) y \bar{e}\in QA tales que \varphi(\bar{x},x',\bar{e})\in tp(\bar{c}c'/QA) y \neg \varphi(\bar{x},x',\bar{e})\in tp(\bar{d}d'/QA). Probar: la fórmula \neg \varphi(\bar{x},x',\bar{e}) realmente pertenece a tp(\bar{c}c'/QA).
  3. Sean \bar{a},\bar{b}\in P^n independientes. Entonces existe \sigma \in Aut(P/QA) (el grupo de enlace) tal que \sigma(\bar{a})=\bar{b} y existe g\in G tal que g(\bar{a}/E)=\bar{b}/E.

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Escrito por Andrés Villaveces

Para el 9 de abril – ejercicios

Abril 8, 2008

Van un poco tarde – intenten hacer lo máximo posible.

  1. En un modelo homogéneo M, y dentro de un tipo cuasiminimal p, si f es un automorfismo sobre A\subset M y cl es la clausura usual cuasiminimal asociada a p, se tiene que f(cl(X))=cl(f(X)), para todo X\subset p(M).
  2. a\in cl(Xb)\setminus cl(X), q es la única extensión no acotada (por lo tanto, cuasiminimal) de p en S_{at}(A\cup X), entonces q=tp(a/AX)=tp(b/AX).
  3. Suponga que \{ a_i|i<\omega_1\} es un conjunto de realizaciones distintas de q. Entonces para todo i\in \omega_1, q(y)\cup \{ \neg \varphi(a_i,y)\} es acotado (¡dentro de la prueba de intercambio!).
  4. Como |q({\mathfrak C})|\geq \aleph_1, existe c' que realiza q(y)\cup \{ \varphi(a_i,y), i<\omega_1\}.

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Escrito por Andrés Villaveces

Ejercicios para el miércoles 2 de abril

Abril 1, 2008
  1. ({\mathbb N},+,\cdot,0,1) es el único modelo atómico de Th({\mathbb N},+,\cdot,0,1).
  2. S_{at}(A)=\{ p\in S(A)|\exists d\models p (A\cup \{ d\} es atómico\}.
  3. Si p\in S_{at}(A), A\subset {\mathfrak C}, |A|<|{\mathfrak C}|, entonces p es realizado en \mathfrak C.
  4. Definición: Sean p\in S_{at}(A), A finito, p cuasiminimal, a\in p(\mathfrak C), B\subset p(\mathfrak C). Definimos el operador cl así: a\in cl(B) \Longleftrightarrow tp(a/BA) es acotado. Demuestre que (p({\mathfrak C}),cl) es una pregeometría.

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Escrito por Andrés Villaveces

Juegos dinámicos – tarea para el 27 de febrero

Febrero 19, 2008
Ayer vimos juegos dinámicos de Ehrenfeucht-Fraïssé, los EFD_\alpha({\mathfrak A},{\mathfrak B}): versiones de nuestros juegos EF, pero con un reloj ordinal para el jugador \forall (una cadena descendente de ordinales – necesariamente finita, que le da la oportunidad a Abelardo de escoger longitudes finitas de jugadas,… un numero finito de veces, todo controlado por el ordinal inicial \alpha).
Igualmente, estudiamos el “Scott Watershed” de dos modelos, SW({\mathfrak A},{\mathfrak B}) (¿cuenca de Scott? ¿paso de Scott? ¿se le ocurre una mejor traducción?) y las alturas de Scott de un modelo. Además, demostramos que dados dos modelos \mathfrak A y \mathfrak B, si \kappa=|{\mathfrak A}|+|{\mathfrak B}| entonces SW({\mathfrak A},{\mathfrak B})<\kappa^+,… ¡si existe!
Para el 27 de febrero, traigan los siguientes problemas:
p. 115: 7, 9, 11, 16, 17.
p. 121: 4, 5, 9.
También revise los juegos MEG (Model Existence Game) y SG (Semantic Game), en el capítulo 5. Por razones de tiempo, insistiré poco en esos juegos en el caso Primer Orden. Sin embargo, usted debe poder resolver ejercicios de las tandas de páginas 94 y 100 (omisión de tipos, interpolación, clases PC).

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Escrito por Andrés Villaveces

Un problema extra

Febrero 14, 2008

Hola a todos,

Un problema adicional, sugerido por Xavier Caicedo, es el siguiente:

Suponga que (\mathbb{R} ,<,f)\approx_p (\mathbb{R} ,<,g), con f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} una función medible. ¿Se sigue que g también es medible?

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Escrito por Andrés Villaveces