pregeometrías « Tópicos Avanzados de Lógica (I-2008)

Para el 9 de abril – ejercicios

Abril 8, 2008

Van un poco tarde – intenten hacer lo máximo posible.

En un modelo homogéneo $M$ , y dentro de un tipo cuasiminimal $p$ , si $f$ es un automorfismo sobre $A\subset M$ y $cl$ es la clausura usual cuasiminimal asociada a $p$ , se tiene que $f(cl(X))=cl(f(X))$ , para todo $X\subset p(M)$ .
$a\in cl(Xb)\setminus cl(X)$ , $q$ es la única extensión no acotada (por lo tanto, cuasiminimal) de $p$ en $S_{at}(A\cup X)$ , entonces $q=tp(a/AX)=tp(b/AX)$ .
Suponga que $\{ a_i|i<\omega_1\}$ es un conjunto de realizaciones distintas de $q$ . Entonces para todo $i\in \omega_1$ , $q(y)\cup \{ \neg \varphi(a_i,y)\}$ es acotado (¡dentro de la prueba de intercambio!).
Como $|q({\mathfrak C})|\geq \aleph_1$ , existe $c'$ que realiza $q(y)\cup \{ \varphi(a_i,y), i<\omega_1\}$ .

Abril 1, 2008

$({\mathbb N},+,\cdot,0,1)$ es el único modelo atómico de $Th({\mathbb N},+,\cdot,0,1)$ .
$S_{at}(A)=\{ p\in S(A)|\exists d\models p (A\cup \{ d\}$ es atómico $\}$ .
Si $p\in S_{at}(A), A\subset {\mathfrak C}, |A|<|{\mathfrak C}|$ , entonces $p$ es realizado en $\mathfrak C$ .
Definición: Sean $p\in S_{at}(A)$ , $A$ finito, $p$ cuasiminimal, $a\in p(\mathfrak C)$ , $B\subset p(\mathfrak C)$ . Definimos el operador $cl$ así: $a\in cl(B) \Longleftrightarrow tp(a/BA)$ es acotado. Demuestre que $(p({\mathfrak C}),cl)$ es una pregeometría.